小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:如:解方程.解:原方程可变形,得.,,.直接开平方并整理,得.我们称小明这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.解:原方程可变形,得.,.直接开平方并整理,得 ¤.上述过程中的“”,“” ,“☆”,“¤”表示的数分别为_____,_____,_____,_____.(2)请用“平均数法”解方程:.
先化简,再求值: ( 2 x + 1 x + 1 + x − 1 ) ÷ x + 2 x 2 + 2 x + 1 ,其中 x 满足 x 2 − x − 2 = 0 .
计算: ( 1 2 ) − 1 + ( π − 3 ) 0 − 2 cos 30 ° + | 3 − 12 | .
已知抛物线 y = a x 2 + kx + h ( a > 0 ) .
(1)通过配方可以将其化成顶点式为 ,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在 x 轴 (填上方或下方),即 4 ah − k 2 0(填大于或小于)时,该抛物线与 x 轴必有两个交点;
(2)若抛物线上存在两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,分布在 x 轴的两侧,则抛物线顶点必在 x 轴下方,请你结合 A 、 B 两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设 x 1 < x 2 且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己画出简单示意图)
(3)根据二次函数(1)(2)结论,求证:当 a > 0 , ( a + c ) ( a + b + c ) < 0 时, ( b − c ) 2 > 4 a ( a + b + c ) .
已知 AB 是 ⊙ O 的任意一条直径.
(1)用图1,求证: ⊙ O 是以直径 AB 所在直线为对称轴的轴对称图形;
(2)已知 ⊙ O 的面积为 4 π ,直线 CD 与 ⊙ O 相切于点 C ,过点 B 作 BD ⊥ CD ,垂足为 D ,如图2.
求证:① 1 2 B C 2 = 2 BD ;
②改变图2中切点 C 的位置,使得线段 OD ⊥ BC 时, OD = 2 2 .
为了促进学生加强体育锻炼,某中学从去年开始,每周除体育课外,又开展了“足球俱乐部1小时”活动.去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共花费2880元, B 品牌足球共花费2400元,且购买 A 品牌足球数量是 B 品牌数量的1.5倍,每个足球的售价, A 品牌比 B 品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加,需要从该店再购买 A 、 B 两种足球共50个,已知该店对每个足球的售价,今年进行了调整, A 品牌比去年提高了 5 % , B 品牌比去年降低了 10 % ,如果今年购买 A 、 B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半,那么学校最多可购买多少个 B 品牌足球?