（本小题满分12分）合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域AB_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．

（1）设∠BOE=，试将△OEF的周长L表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

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已知函数 $f (x)$ 满足下列关系式：（i）对于任意的 $x, y \in R$ ，恒有 $2 f (x) f (y) = f (\frac{π}{2} - x + y) - f (\frac{π}{2} - x - y ）$ ；（ii） $f (\frac{π}{2}) = 1$ ．

求证：
（1） $f (0)$ =0；
（2） $f (x)$ 为奇函数；
（3） $f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期的周期函数．

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（2）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间．

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