（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：已知函数．（Ⅰ）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

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$S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n} > 0$ ， ${a_{n}}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n - 1}}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = 4 x - x^{2}, x \in R$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ,曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证:对于任意的正实数 $x$ ,都有 $f (x) \leq g (x)$ ;
（Ⅲ）若方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数)有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ,求证: $x_{2} - x_{1} < - \frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$ .

题型：未知
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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ,左焦点为 $F$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,
（Ⅰ）求直线 $B F$ 的斜率;
（Ⅱ）设直线 $B F$ 与椭圆交于点 $P$ ( $P$ 异于点 $B$ ),过点 $B$ 且垂直于 $B P$ 的直线与椭圆交于点 $Q$ （ $Q$ 异于点 $B$ ）直线 $P Q$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ , $|P M| = l |M Q|$ .
（ⅰ）求 $l$ 的值;
（ⅱ）若 $|P M| \sin ∠ B Q P = \frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ,求椭圆的方程.

题型：未知
难度：未知

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如图,已知 $A A_{1} ⊥ 平面 A B C$ , $B B_{1} / / A A_{1}$ , $A B = A C = 3$ $B C = 2 \sqrt{5}$ , $A A_{1} = \sqrt{7}$ , $B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ,点 $E, F$ 分别是 $B C, A_{1} C$ 的中点.

（Ⅰ）求证: $E F / / 平面 A_{1} B_{1} B A$ ;
（Ⅱ）求证:平面 $A E A_{1} ⊥ 平面 B C B_{1}$ .
（Ⅲ）求直线 $A_{1} B_{1}$  与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小.

题型：未知
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$△ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ , $b - c = 2$ , $\cos A = - \frac{1}{4}$ .
（Ⅰ）求 $a$ 和 $\sin C$ 的值;
（Ⅱ）求 $\cos (2 A + \frac{π}{6})$  的值.

题型：未知
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