(本小题满分12分)已知函数的图象过点,且点在函数的图象上.(1)求数列的通项公式;(2)令,若数列的前项和为,求证:.
(本题共10分)已知函数,当时,有极大值。(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求函数的极小值。
(本题共10分)已知函数。(Ⅰ)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值;(Ⅱ)若函数在区间(,)内是增函数,求的取值范围。
(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的最小值;(2)证明:对任意恒成立;(3)对于函数图象上的不同两点,如果在函数图象上存在点(其中)使得点处的切线,则称直线存在“伴侣切线”.特别地,当时,又称直线存在“中值伴侣切线”.试问:当时,对于函数图象上不同两点、,直线是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.
(本小题满分13分)已知抛物线,过点的直线与抛物线交于、两点,且直线与轴交于点.(1)求证:,,成等比数列;(2)设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
(本小题满分12分)已知函数.(1)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;(3)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.