已知函数（x∈R）．（1）当时，求的单调区间；（2）求证：对

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数（x∈R）．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：对任意实数，有.

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$△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}, a c = 2 \sqrt{3}$ 求 $\sin A$ 和 $c$ 的值.

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（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

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（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x > 0, f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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（Ⅱ）设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
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（Ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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若 $n$ 是一个三位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$ 为"三位递增数"（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

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