（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为（1，－5），点的极坐标为（4，），若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，4为半径.
（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）试判定直线与圆的位置关系.

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在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b–c = 2$ ， $cosB = - \frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求 b， c的值；

（Ⅱ）求 $\sin （ B + C ）$ 的值．

题型：未知
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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线 $l ： y = k_{1} x ﹣ \frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且 $| MC | ： | AB | = 2 ： 3$ ，⊙M的半径为 $| MC |$ ，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求 $∠ SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

题型：未知
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已知函数 $f （ x ） = x^{2} + 2 cosx$ ， $g （ x ） = e^{x} （ cosx ﹣ sinx + 2 x ﹣ 2 ）$ ，其中 $e \approx 2.17828 \dots$ 是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线 $y = f （ x ）$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）令 $h (x) = g (x) - a f (x) (a \in R)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

题型：未知
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已知 ${x_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ ， $x_{3} ﹣ x_{2} = 2$ ．

（Ⅰ）求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，依次连接点 $P_{1} （ x_{1} ， 1 ）$ ， $P_{2} （ x_{2} ， 2 ） \dots P_{n + 1} （ x_{n + 1} ， n + 1 ）$ 得到折线 $P 1 P 2 \dots P_{n + 1}$ ，求由该折线与直线 $y = 0$ ， $x = x_{1}$ ， $x = x_{n + 1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

题型：未知
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在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ， A ₄ ， A ₅ ， A ₆和4名女志愿者B ₁ ， B ₂ ， B ₃ ， B ₄ ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A ₁但不包含B ₁的概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

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