（本题12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线yx8分别交x

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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上一题

（本题12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．

（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）如图乙，若直线y=x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值
（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围。

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在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{15}{13}$	$- \frac{24}{17}$		$- \frac{12}{5}$	$- 3$	0	3	$\frac{12}{5}$		$\frac{24}{17}$	$\frac{15}{13}$	$\dots$

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“ $\sqrt$ ”，错误的在答题卡上相应的括号内打“ $\times$ ”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 $y$ 轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 $x = 1$ 时，函数取得最大值3；当 $x = - 1$ 时，函数取得最小值 $- 3$ ．

③当 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $- 1 < x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

（3）已知函数 $y = 2 x - 1$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\frac{6 x}{x^{2} + 1} > 2 x - 1$ 的解集（保留1位小数，误差不超过 $0.2)$ ．

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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，分别过点 $A$ ， $C$ 作 $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ． $AC$ 平分 $∠ DAE$ ．

（1）若 $∠ AOE = 50 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

（2）求证： $AE = CF$ ．

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为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：

年级	平均数	众数	中位数	8分及以上人数所占百分比
七年级	7.5	$a$	7	$45 %$
八年级	7.5	8	$b$	$c$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

题型：未知
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计算：

（1） ${(x + y)}^{2} + x (x - 2 y)$ ；

（2） $(1 - \frac{m}{m + 3}) \div \frac{m^{2} - 9}{m^{2} + 6 m + 9}$ ．

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抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, - 3)$ ．点 $P$ 为抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上的一个动点．过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）设点 $F$ 在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的对称轴上，当 $ΔACF$ 的周长最小时，直接写出点 $F$ 的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$ ，使点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是点 $D$ 到直线 $BC$ 的距离的5倍？若存在，求出点 $P$ 所有的坐标；若不存在，请说明理由．

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