如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．（1）求_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点 $C$ 处，如图所示，直线 $l$ 表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的 $A$ 处向 $B$ 处匀速行驶，用时5秒．经测量，点 $A$ 在点 $C$ 的北偏西 $60 °$ 方向上，点 $B$ 在点 $C$ 的北偏西 $45 °$ 方向上．

（1）求 $A$ 、 $B$ 之间的路程（精确到0.1米）；

（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米 $/$ 小时的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 经过 $A (- 3, 0)$ ， $B (5, - 4)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证： $AB$ 平分 $∠ CAO$ ；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $ΔABM$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形，若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $BA$ 延长线上一点， $∠ ACD = ∠ B$ ．

（1）求证： $DC$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）线段 $DF$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ 且 $∠ CEF = 45 °$ ， $⊙ O$ 的半径为5， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $CF$ 的长．

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如图，在 $ΔABC$ 中，过点 $C$ 作 $CD / / AB$ ， $E$ 是 $AC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长，交 $AB$ 于点 $F$ ，交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AD$ ， $CF$ ．

（1）求证：四边形 $AFCD$ 是平行四边形．

（2）若 $GB = 3$ ， $BC = 6$ ， $BF = \frac{3}{2}$ ，求 $AB$ 的长．

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如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1, 2)$ 和 $B (- 2, m)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）请直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围；

（3）过点 $B$ 作 $BE / / x$ 轴， $AD ⊥ BE$ 于点 $D$ ，点 $C$ 是直线 $BE$ 上一点，若 $AC = 2 CD$ ，求点 $C$ 的坐标．

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