如图：已知△ABC中，AB5，BC3，AC4，PQ∥AB，P

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积是四边形PABQ的面积时，求CP的长．
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

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阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 $- -$ 转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

（1）问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ 　　， $x_{3} =$ 　　；

（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪 $ABCD$ 的长 $AD = 8 m$ ，宽 $AB = 3 m$ ，小华把一根长为 $10 m$ 的绳子的一端固定在点 $B$ ，沿草坪边沿 $BA$ ， $AD$ 走到点 $P$ 处，把长绳 $PB$ 段拉直并固定在点 $P$ ，然后沿草坪边沿 $PD$ 、 $DC$ 走到点 $C$ 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C$ ．求 $AP$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 $A$ 、 $B$ 和点 $C$ 、 $D$ ，先用卷尺量得 $AB = 160 m$ ， $CD = 40 m$ ，再用测角仪测得 $∠ CAB = 30 °$ ， $∠ DBA = 60 °$ ，求该段运河的河宽（即 $CH$ 的长）．