为迎接6月6日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),如图,若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”. (1)写出这组数据的众数和中位数;(2)从这16人中随机选取3人,求至少有2人是“好视力”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记X表示抽到“好视力”学生的人数,求X的分布列及数学期望.
(本小题满分12分)如图,在长方体中,为的中点. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)在棱上是否存在点,使得∥平面?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
(本小题满分12分)已知向量函数. (Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)若在中,角的对边分别为为锐角,且,求面积.
(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲 已知函数,且的解集为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设,试求的最大值与最小值.
(本小题满分7分) 选修4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为. (Ⅰ)求直线的极坐标方程; (Ⅱ)若直线与曲线相交于、两点,求.
(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 二阶矩阵; (Ⅰ)求点在变换作用下得到的点; (Ⅱ)设直线在变换作用下得到了直线,求点到直线的距离.