如图,已知AC是⊙O的直径,PA⊥AC,连接OP,弦CB∥OP,直线PB交直线AC于点D.(1)证明:直线PB是⊙O的切线;(2)若BD=2PA,OA=3,PA=4,求BC的长.
如图1,在平面直角坐标系中,直线的位置随b的不同取值而变化.(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2,①当b= 时,直线经过圆心M ;②当b= 时,直线与 ⊙M相切;(2)若把⊙M换成矩形ABCD,如图2,其三个顶点的坐标分别为:A(2,0),B(6,0),C(6,2).设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,当b由小到大变化时,请求出S与b的函数关系式.
问题提出:平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆.那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上),能否在同一个圆呢?初步思考:设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O.(1)当C、D在线段AB的同侧时,如图①,若点D在⊙O上,此时有∠ACB=∠ADB,理由是____________;如图②,若点D在⊙O内,此时有∠ACB____________∠ADB;如图③,若点D在⊙O外,此时有∠ACB____________∠ADB.(填“=”、“>”或“<”);由上面的探究,请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件:____________.类比学习:(2)仿照上面的探究思路,请探究:当C、D在线段AB的异侧时的情形.如图④,此时有________________________,如图⑤,此时有________________________,如图⑥,此时有________________________.由上面的探究,请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件:________________________________________________________________________.拓展延伸:(3)如何过圆上一点,仅用没有刻度的直尺,作出已知直径的垂线?已知:如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上.求作:CN⊥AB.作法:①连接CA, CB;②在上任取异于B、C的一点D,连接DA,DB;③DA与CB相交于E点,延长AC、BD,交于F点;④连接F、E并延长,交直径AB于M;⑤连接D、M并延长,交⊙O于N.连接CN.则CN⊥AB.请按上述作法在图④中作图,并说明CN⊥AB的理由.(提示:可以利用(2)中的结论)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D是BC上一定点.动点P从C出发,以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动,动点Q从D出发,以1cm/s的速度沿D→B方向运动.点P出发5 s后,点Q才开始出发,且当一个点达到B时,另一个点随之停止.图2是当时△BPQ的面积S(cm2)与点P的运动时间t(s)的函数图象.(1)CD = , ;(2)当点P在边AB上时,为何值时,使得△BPQ与△ABC为相似?(3)运动过程中,求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时的值.
已知:如图,矩形ABCD中,CD=2,AD=3,以C点为圆心,作一个动圆,与线段AD交于点P(P和A、D不重合),过P作⊙C的切线交线段AB于F点.(1)求证:△CDP∽△PAF;(2)设DP=x,AF=y,求y关于x的函数关系式,及自变量x的取值范围;(3)是否存在这样的点P,使△APF沿PF翻折后,点A落在BC上,请说明理由.
利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元?