已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

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为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

	甲型客车	乙型客车
载客量（人 $/$ 辆）	35	30
租金（元 $/$ 辆）	400	320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

题型：未知
难度：未知

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $P$ 是半径 $OB$ 上一动点（不与 $O$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作射线 $l ⊥ AB$ ，分别交弦 $BC$ ， $\hat{BC}$ 于 $D$ ， $E$ 两点，在射线 $l$ 上取点 $F$ ，使 $FC = FD$ ．

（1）求证： $FC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当点 $E$ 是 $\hat{BC}$ 的中点时，

①若 $∠ BAC = 60 °$ ，判断以 $O$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ，且 $AB = 20$ ，求 $DE$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 图象的顶点在一次函数 $y = kx + t (k \neq 0)$ 的图象上，则称 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 为 $y = kx + t (k \neq 0)$ 的伴随函数，如： $y = x^{2} + 1$ 是 $y = x + 1$ 的伴随函数．

（1）若 $y = x^{2} - 4$ 是 $y = - x + p$ 的伴随函数，求直线 $y = - x + p$ 与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y = mx - 3 (m \neq 0)$ 的伴随函数 $y = x^{2} + 2 x + n$ 与 $x$ 轴两个交点间的距离为4，求 $m$ ， $n$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：

组别	个数段	频数	频率
1	$0 ⩽ x < 10$	5	0.1
2	$10 ⩽ x < 20$	21	0.42
3	$20 ⩽ x < 30$	$a$
4	$30 ⩽ x < 40$		$b$

（1）表中的数 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；

（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．

题型：未知
难度：未知

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如图①，等腰直角三角形 $OEF$ 的直角顶点 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，点 $C$ ， $D$ 分别在 $OE$ 和 $OF$ 上，现将 $ΔOEF$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角 $(0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AF$ ， $DE$ （如图② $)$ ．

（1）在图②中， $∠ AOF =$ 　　；（用含 $α$ 的式子表示）

（2）在图②中猜想 $AF$ 与 $DE$ 的数量关系，并证明你的结论．

题型：未知
难度：未知

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