计算与化简（1）（2）

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计算与化简
（1）（2）

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平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别为 $a$ 、 $a + 2$ ，二次函数 $y = - x^{2} + (m - 2) x + 2 m$ 的图象经过点 $A$ 、 $B$ ，且 $a$ 、 $m$ 满足 $2 a - m = d (d$ 为常数）．

（1）若一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象经过 $A$ 、 $B$ 两点．

①当 $a = 1$ 、 $d = - 1$ 时，求 $k$ 的值；

②若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，求 $d$ 的取值范围；

（2）当 $d = - 4$ 且 $a \neq - 2$ 、 $a \neq - 4$ 时，判断直线 $AB$ 与 $x$ 轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $A$ 、 $B$ 的位置随着 $a$ 的变化而变化，设点 $A$ 、 $B$ 运动的路线与 $y$ 轴分别相交于点 $C$ 、 $D$ ，线段 $CD$ 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $CD$ 的长；如果变化，请说明理由．

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阅读理解：

如图①，图形 $l$ 外一点 $P$ 与图形 $l$ 上各点连接的所有线段中，若线段 $P A_{1}$ 最短，则线段 $P A_{1}$ 的长度称为点 $P$ 到图形 $l$ 的距离．

例如：图②中，线段 $P_{1} A$ 的长度是点 $P_{1}$ 到线段 $AB$ 的距离；线段 $P_{2} H$ 的长度是点 $P_{2}$ 到线段 $AB$ 的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(8, 4)$ ， $(12, 7)$ ，点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度向 $x$ 轴正方向运动了 $t$ 秒．

（1）当 $t = 4$ 时，求点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离；

（2） $t$ 为何值时，点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离为5？

（3） $t$ 满足什么条件时，点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

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怡然美食店的 $A$ 、 $B$ 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低 $A$ 种菜品的售价，同时提高 $B$ 种菜品的售价，售卖时发现， $A$ 种菜品售价每降0.5元可多卖1份； $B$ 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

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平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(m + 1, m - 1)$ ．

（1）试判断点 $P$ 是否在一次函数 $y = x - 2$ 的图象上，并说明理由；

（2）如图，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $A$ 、 $B$ ，若点 $P$ 在 $ΔAOB$ 的内部，求 $m$ 的取值范围．

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“泰微课”是学生自主学习的平台，某初级中学共有1200名学生，每人每周学习的数学泰微课都在6至30个之间（含6和30），为进一步了解该校学生每周学习数学泰微课的情况，从三个年级随机抽取了部分学生的相关学习数据，并整理、绘制成统计图如下：

根据以上信息完成下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）估计该校全体学生中每周学习数学泰微课在16至30个之间（含16和30）的人数．

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