如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，且 ， 为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接 ，当点 在直线 上方时，求四边形 面积的最大值，并求出此时 点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使四边形 为矩形？若存在，直接写出点 及其对应点 的坐标；若不存在，请说明理由．
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形 中， ， 为 的中点， 为边 上任意一点（不与端点重合），过点 作 于点 ，作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．记 与 的面积之和为 ， 与 的面积之和为 ．
①若 为边 的中点，则 的值为＿＿＿＿＿；
②若 不为边 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 天（ ，且 为正整数）的供应量 （单位：个）和需求量 （单位：个）的部分数据如下表，其中需求量 与 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
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第 天 |
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供应量 （个） |
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需求量 （个） |
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（1）直接写出 与 和 与 的函数关系式；（不要求写出 的取值范围）
（2）已知从第 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 天的总需求量超过总供应量，前 天的总需求量不超过总供应量），求 的值；（参考数据：前 天的总需求量为 个）
（3）在第（2）问 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 元，求第 天与第 天的销售额．
如图，已知 为 上一点，点 在直径 的延长线上， 与 相切，交 的延长线于点 ，且 ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，
①求 的半径；
②求 的长．
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校 名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有＿＿＿＿人；
（2）条形统计图中m的值为＿＿＿＿，扇形统计图中 的度数为＿＿＿＿；
（3）根据调查结果，可估计该校 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有＿＿＿＿人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
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