在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,﹣3).(1)求b,c的值,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)设抛物线的对称轴为直线l,点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点,点E与点P关于直线l对称,点E与点F关于y轴对称,若四边形OAPF的面积为48,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,设M是直线l上任意一点,试判断MP+MA是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及相应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
化简:.
(本题14分)如图,在平面直角坐标系内,正方形AOBC顶点C的坐标为(2,2),过点B的直线∥OC,P是直线上一个动点,抛物线过O、C、P三点.(1)填空:直线的函数解析式为 ;的关系式是 .(2)当△PBC是等腰Rt△时,求抛物线的解析式 ;(3)当抛物线的对称轴与正方形有交点时,直接写出点P横坐标的取值范围 .
(本题12分)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品.已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍;用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?(2)若学校计划购买这两种图书共40本,其中甲种图书a本,投入的经费为W元,①请写出W关于a的函数关系式;②若投入的经费不超过1050元,且使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量,则共有几种购买方案? 并求出最节省的购买方案和最节省经费;(3)若学校计划购买这两种图书总数超过30本,其中甲种图书a本,乙种图书b本,且投入的经费恰好为690元,则b= ( 写出两种可能的值).
(本题10分)如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O 相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E,记∠EPD=∠1,∠EDO=∠2.(1)求证:∠1=∠2;(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长。
(本题10分)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端的仰角为35°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端的仰角为60°.已知点A 的高度AB为,台阶AC的坡度为(即),且、、三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(参考数据:tan65°2.1,cos65°0.4, sin35°0.6,tan35°0.7,1.7,结果保留一位小数).