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端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进 $A$ 、 $B$ 两种粽子1100个，购买 $A$ 种粽子与购买 $B$ 种粽子的费用相同．已知 $A$ 种粽子的单价是 $B$ 种粽子单价的1.2倍．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种粽子的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进 $A$ 、 $B$ 两种粽子共2600个，已知 $A$ 、 $B$ 两种粽子的进价不变．求 $A$ 种粽子最多能购进多少个？

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已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (5, 0)$ ，若 $OB = AB$ ，且 $S_{ΔOAB} = \frac{15}{2}$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 为 $x$ 轴上一点， $ΔABP$ 是等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．

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为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求出 $a$ ， $b$ 的值；

（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

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先化简，再求值： $(a - 9 + \frac{25}{a + 1}) \div (a - 1 - \frac{4 a - 1}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 5 x + 5$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一交点为 $B$ ．

（1）求抛物线解析式及 $B$ 点坐标；

（2）若点 $M$ 为 $x$ 轴下方抛物线上一动点，连接 $MA$ 、 $MB$ 、 $BC$ ，当点 $M$ 运动到某一位置时，四边形 $AMBC$ 面积最大，求此时点 $M$ 的坐标及四边形 $AMBC$ 的面积；

（3）如图2，若 $P$ 点是半径为2的 $⊙ B$ 上一动点，连接 $PC$ 、 $PA$ ，当点 $P$ 运动到某一位置时， $PC + \frac{1}{2} PA$ 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

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