青年歌手电视大赛共有10名选手参加,并请了7名评委,如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩,流程图用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值),试根据所给条件回答下列问题:(1) 根据茎叶图,选手乙的成绩中,众数是多少?选手甲的成绩中,中位数是多少?(2) 在流程图(如图所示)中,用k表示评委人数,用a表示选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值).横线①、②处应填什么?(3) 根据流程图,甲、乙的成绩分别是多少?
(本小题满分12分)如下图(图1)等腰梯形,为上一点,且,,,沿着折叠使得二面角为的二面角,连结、,在上取一点使得,连结得到如下图(图2)的一个几何体. (Ⅰ)求证:平面平面; (Ⅱ)设,求点到平面的距离.
(本小题满分12分)设,方程有唯一解,已知,且. (Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式; (Ⅱ)若,且,求数列的前项和.
(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两个车间,每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工.在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表:
(Ⅰ)分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较两个车间技工的技术水平; (Ⅱ)质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取名技工,对其加工的零件进行检测,若两人完成合格零件个数之和不小于12个,则称该工厂“质量合格”,求该工厂“质量合格”的概率.
(本小题满分12分)已知满足. (Ⅰ)将表示为的函数,并求出的单调递增区间; (Ⅱ)已知的三个内角、、的对边分别为、、,若,且,求的面积的最大值.
(本小题14分)已知函数. (1)若在上的最大值为,求实数的值; (2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围; (3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由。