3名教师与4名学生排成一横排照相,求:(1)3名教师必须排在一起的不同排法有多少种?(2)3名教师必须在中间(在3、4、5位置上)的不同排法有多少种?(3)3名教师不能相邻的不同排法有多少种?
已知函数,其中a为实数。(1)求函数的单调区间;(2)若函数对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围。(3)证明,对于任意的正整数m,n,不等式恒成立。
已知函数,其中。(1)若直线是曲线的切线,求a的值;(2)设,求在区间上的最大值。(其中e为自然对数的底数)。
有一块边长为4的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗忽略不计)。有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个全等的小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正方形的边长。(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积;(2)请你判断上述方案是否是最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方体容器的容积。
设,其中a为正实数。(1)当时,求的极值点;(2)若在R不是单调函数,求a的取值范围。
已知数列满足,且。(1)求。(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明。