如图在平面直角坐标系$xoy$中，$F_1,F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点，顶点$B$的坐标是$(0,b)$，连接$B{F}_2$并延长交椭圆于点$A$，过点$A$作$x$轴的垂线交椭圆于另一点$C$，连接$F_{1}C$.

（1）若点$C$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$，且$B{F}_2=\sqrt{2}$，求椭圆的方程；
（2）若$F_{1}C\perp AB$，求椭圆离心率$e$的值.