已知等差数列$\left\{a_n\right\}$满足：$a_1=2$，且$a_1$、$a_2$、$a_5$成等比数列.
（1）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式.
（2）记$S_n$为数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和，是否存在正整数$n$，使得$S_n>60n+800?$若存在，求$n$的最小值；若不存在，说明理由.