已知函数$f\left(x\right)=(\cos x-x)(\pi +2x)-\frac{8}{3}(\sin x+1)$，$g\left(x\right)=3x\cos x-4(1+\sin x)\ln (3-\frac{2x}{\pi })$.证明：

（1）存在唯一$x_0\in (0,\frac{\pi }{2})$，使$f\left(x_0\right)=0$；
（2）存在唯一$x_1\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，使$g\left(x_1\right)=0$，且对（1）中的$x_0+x_1<\pi$.