在平面直角坐标系 x O y 中,点 M 到点 F ( 1 , 0 ) 的距离比它到 y 轴的距离多1,记点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹为 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ( - 2 , 1 ) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时 k 的相应取值范围.
(本小题满分12分)求当为何实数时,复数满足: (Ⅰ)为实数; (Ⅱ)为纯虚数; (Ⅲ)位于第四象限。
(本小题满分14分)已知,设函数. (Ⅰ)若时,求函数的单调区间; (Ⅱ)若,对于任意的,不等式恒成立,求实数的最大值及此时的值.
(本小题满分15分)已知抛物线上点T(3,t)到焦点的距离为4. (Ⅰ)求,的值; (Ⅱ)设、是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点,且(其中为坐标原点). (ⅰ)求证:直线必过定点,并求出该定点的坐标; (ⅱ)过点作的垂线与抛物线交于、两点,求四边形面积的最小值.
(本小题满分15分)如图,已知四棱锥,底面为边长为2的菱形,平面,,是的中点,. (Ⅰ) 证明:; (Ⅱ) 若为上的动点,求与平面所成最大角的正切值.
(本小题满分15分)已知数列是公差不为零的等差数列,,且成等比数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列满足:,,令,,求数列的前项和.