函数 $f\left(x\right)=\ln (x+1)-\frac{ax}{x+a}(a>1)$.
（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（2）设 $a_1=1,a_{n+1}=\ln (a_n+1)$，证明： $\frac{2}{n+2}<a_n<\frac{3}{n+2}$.