九连环是我国的一种古老的智力游戏,它环环相扣,趣味无穷.按照某种规则解开九连环,至少需要移动圆环a9次.我们不妨考虑n个圆环的情况,用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数,用bn表示前(n﹣1)个圆环都已经解下后,再解第n个圆环所需的次数,按照某种规则可得:a1=1,a2=2,an=an﹣2+1+bn﹣1,b1=1,bn=2bn﹣1+1.
(1)求bn的表达式;
(2)求a9的值,并求出an的表达式;
(3)求证:.
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九连环是我国的一种古老的智力游戏,它环环相扣,趣味无穷.按照某种规则解开九连环,至少需要移动圆环a9次.我们不妨考虑n个圆环的情况,用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数,用bn表示前(n﹣1)个圆环都已经解下后,再解第n个圆环所需的次数,按照某种规则可得:a1=1,a2=2,an=an﹣2+1+bn﹣1,b1=1,bn=2bn﹣1+1.
(1)求bn的表达式;
(2)求a9的值,并求出an的表达式;
(3)求证:.