某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表：按年级分层抽

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表：

按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人.
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率.

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（本小题满分12分）设函数
（I）若函数处取得极值，求此时函数的单调区间；
（II）已知不等式恒成立，求x的取值范围。

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x^{3} - (k^{2} - k + 1) x^{2} + 5 x - 2$ ， $g (x) = k^{2} x^{2} + k x + 1$ ，其中 $k \in R$ ．
（I）设函数 $p (x) = f (x) + g (x)$ ．若 $p (x)$ 在区间 $(0, 3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围；
（II）设函数 $q (x) = \{\begin{cases} g (x), x \geq 0, \\ f (x), x < 0 . \end{cases}$ 是否存在 $k$ ，对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一的非零实数 $x_{2}$ $(x_{2} \neq x_{1})$ ，使得 $q ` (x_{2}) = q ` (x_{1})$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存
在，请说明理由．

题型：未知
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如图，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E, F, O$ 分别为 $P A$ ， $P B$ ， $A C$ 的中点， $A C = 16$ ， $P A = P C = 10$ ．
（I）设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明： $F G ∥$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $△ A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M ⊥$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A$ ， $O B$ 的距离．

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在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数.
（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（Ⅱ）记 $ξ$ 为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时 $ξ$ 的值是2）。求随机变量 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E ξ$

题型：未知
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（本小题满分14分）已知函数．
（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值并求点P的坐标；（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交S、T点，以S为切点作的切线，以T为切点作的切线．是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

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