设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为S_n，满足$2S_n=a_{n+1}-2^{n+1}+1,n\in N^{+}$，且$a_1$，$a_2+5$，$a_3$成等差数列．
（1）求$a_1$的值；
（2）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（3）证明：对一切正整数$n$，有$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots +\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}$．