平面内与两定点$A_1\left(-a,0\right),A_2\left(a,0\right)\left(a>0\right)$连线的斜率之积等于非零常数$m$的点的轨迹，加上$A_1,A_2$两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线$C$的方程，并讨论$C$的形状与$m$值的关系；
（2）当$m=-1$时，对应的曲线为$C_1$；对给定的$m\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$对应的曲线为$C_2$，设$F_1,F_2$是$C_2$的两个焦点．试问：在$C_1$上，是否存在点N，使得$∆F_{1}N{F}_2$的面积$S=\left|m\right|a^2$．若存在，求$\tan F_{1}N{F}_2$的值；若不存在，请说明理由．