(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,,,,平面平面,是线段上一点,,,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设三棱锥与四棱锥的体积分别为与,求的值.
(本小题满分13分)已知二次函数同时满足:①不等式的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在,使得不等式成立.设数列的前项和,(1)求数列的通项公式;(2)数列中,令,,求;(3)设各项均不为零的数列中,所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令(为正整数),求数列的变号数.
(本小题满分13分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(1)求这三条曲线的方程;(2)对于抛物线上任意一点,点都满足,求的取值范围.
(本小题满分13分))京广高铁于2012年12月26日全线开通运营,次列车在平直的铁轨上匀速行驶,由于遇到紧急情况,紧急刹车时列车行驶的路程 (单位:)和时间 (单位:)的关系为:.(1)求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间;(2)求列车正常行驶的速度;(3)求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值.
(本小题满分12分)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是,侧棱长是3,点E、F分别在BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.(1)求证:A1C⊥面AEF;(2)求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值.
(本小题满分12分)在一次数学考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的,还有1道题因不理解题意只好乱猜.(1) 求该考生8道题全答对的概率;(2)若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分”,求该考生所得分数的分布列.