已知函数 $f\left(x\right)=x^2\ln x$．
（1）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）证明：对任意的 $t>0$，存在唯一的 $s$，使 $t=f\left(s\right)$．
（3）设（2）中所确定的 $s$关于 $t$的函数为 $s=g\left(t\right)$，证明：当 $t>e^2$时，有 $\frac{2}{5}<\frac{\ln g\left(t\right)}{\ln t}<\frac{1}{2}$．