设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设$A,B$分别为椭圆的左，右顶点，过点$F$且斜率为$k$的直线与椭圆交于$C,D$两点．若$AB·BD+AD·CB=8$，求$k$的值．