随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：，2；，7；，10；，x；[90，100]，2．其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题．

（1）求样本的人数及x的值；
（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；
（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．

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某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50]$ , $[50, 60]$ ,... $[80, 90]$ , $[90, 100]$

（Ⅰ）求频率分布图中 $a$ 的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在 $[40, 60]$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[40, 50]$ 的概率.

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已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \cos 2 x$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

题型：未知
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设函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (\sin x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记 $f_{0} (x) = x^{2} - a_{0} x + b_{0}$ ，求函数 $|f (\sin x) - f_{0} (\sin x)|$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取 $a_{0} = b_{0} = 0$ ，求 $z = b - \frac{a^{2}}{4}$ 满足 $D \leq 1$ 时的最大值.

题型：未知
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设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，满足 $|B M| = 2 |M A|$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .
（Ⅰ）求 $E$ 的离心率 $e$ ；
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0, - b)$ ， $N$ 为线段 $A C$ 的中点，点N关于直线 $A B$ 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 $E$ 的方程.

题型：未知
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如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ ,四边形 $A A_{1} B_{1} B$ , $A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形, $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点,过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ .

（Ⅰ）证明： $E F ∥ B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $E - A_{1} D - B_{1}$ 余弦值.

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