已知四棱锥PABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一点，且PA∥平面QBD.

⑴确定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

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已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S．

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如图，在斜二测画法下，四边形A′B′C′D′是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？

题型：未知
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如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $\frac{|F_{1} F_{2}|}{|D F_{1}|} = 2 \sqrt{2}$ ， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

题型：未知
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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2, ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M = \frac{1}{2}$ .
（1）证明： $B C ⊥$ 平面 $P O M$ ；
（2）若 $M P ⊥ A P$ ，求四棱锥 $P - A B M O$ 的体积.

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已知函数 $f (x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于 $y = \frac{1}{2} x$ .
（1）求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

题型：未知
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