设函数（1）若，求函数在上的最小值；（2）若函数在存在单调递

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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设函数
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（3）求函数的极值点.

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如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 侧面 $A_{1} A B B_{1}$

$(I)$ 求证 $A B ⊥ C D$

$(I I)$ （若直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，试判断 $θ$ 与 $φ$ 的大小关系，并予以证明。

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袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个（ $n$ =1,2,3,4）。现从袋中任取一球. $ξ$ 表示所取球的标号.
（Ⅰ）求 $ξ$ 的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若 $η = a ξ - b, E η = 1, D η = 11$ ，试求 $a, b$ 的值。

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已知函数f(t)= $f (t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$ , $g (x) = c o s x \cdot f (s i n x) + s i n x \cdot f (c o s x)$ , $x \in (π, \frac{17 π}{12})$ .

（Ⅰ）将函数 $g (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ) + B （ A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， φ \in [0 ， 2 π] ）$ 的形式；
（Ⅱ）求函数 $g (x)$ 的值域。

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已知以 $a_{1}$ 为首项的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：
（1）当 $a_{1} ＝ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $d ＝ 3$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）当 $0 ＜ a_{1} ＜ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $d ＝ 3$ 时，试用 $a_{1}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $100$ 项的和 $S_{100}$ ；
（3）当 $0 ＜ a_{1} ＜ m$ （ $m$ 是正整数）， $c ＝ 1$ ， $d \geq 3 m$ 时，求证：数列 $a_{2}$ ， $a_{3 m + 2}$ ， $a_{6 m + 2}$ ， $a_{9 m + 2}$ 成等比数列当且仅当 $d ＝ 3 m$ .

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设 $P (a, b) (b \neq 0)$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点， $l$ 是经过原点与点 $(1, b)$ 的直线，记 $Q$ 是直线 $l$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p \neq 0)$ 的异于原点的交点
（1）若 $a = 1, b = 2, p = 2$ ，求点 $Q$ 的坐标；
（2）若点 $P (a, b) (a b \neq 0)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上， $p = \frac{1}{2 a b}$ ，求证：点 $Q$ 落在双曲线 $4 x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 上；
（3）若动点 $P (a, b)$ 满足 $a b \neq 0$ ， $p = \frac{1}{2 a b}$ ，若点 $Q$ 始终落在一条关于 $x$ 轴对称的抛物线上，试问动点 $P$ 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

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