已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)²成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．

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假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N$ （800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 $p_{0}$ ．
（1）求 $p_{0}$ 的值；
（参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ , $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ．
（2）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车7辆．若每天要以不小于 $p_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

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如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点．
（1）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ，试判断直线l与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$ ，且点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ$ ，异面直线与 $E F$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $E - l - C$ 的大小为 $β$ ．求证： $\sin θ = \sin α \sin β$ ．

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已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $|a_{2} - a_{3}| = 10, a_{1} a_{2} a_{3} = 125$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} \geq 1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由．

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A - 3 \cos (B + C) = 1$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3}, b = 5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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设 $0 < a < 1$ ，集合 $A = {x \in R x > 0}, B = {x \in R 2 x^{2} - 3 (1 + a) x + 6 a > 0}, D = A \cap B$

（1）求集合 $D$ （用区间表示）
（2）求函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (1 + a) x^{2} + 6 a x$ 在 $D$ 内的极值点.

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