已知函数.（1）若是的极值点,求及在上的最大值;（2）若函数

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数.
（1）若是的极值点,求及在上的最大值;
（2）若函数是上的单调递增函数,求实数的取值范围.

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已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $x \in R$ 满足条件： $a_{n} = b_{n}$ ， $f (b_{n}) = g (b_{n + 1})$ .( $n \in N^{*}$ )

（I）若 $f (x) \geq t x + 1, t \neq 0, t \neq 2,$ $g (x) = 2 x$ ， $f (b) \neq g (b)$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ 存在，求 $x$ 的取值范围；
（II）若函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的增函数， $g (x) = f^{- 1} (x)$ ， $b = 1$ ， $f (1) < 1$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ （用 $t$ 表示）．

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已知正三角形 $O A B$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $O A B$ 的内接圆（点 $C$ 为圆心）
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设圆 $M$ 的方程为 ${(x - 4 - 7 \cos θ)}^{2} + {(y - 7 \cos θ)}^{2} = 1$ ，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $P E, P F$ ，切点为 $E, F$ ，求 $\overset{⇀}{C E}, \overset{⇀}{C F}$ 的最大值和最小值．

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某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C = \frac{q^{3}}{3} - 3 q^{2} + 20 q + 10 (q > 0)$ 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系式如下表所示：

设 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 $ξ_{k}$ ，表示当产量为 $q$ ，而市场前景无法确定的利润．
(I)分别求利润 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 与产量 $q$ 的函数关系式；
(II)当产量 $q$ 确定时，求期望 $E ξ_{k}$ ；
(III)试问产量 $q$ 取何值时， $E ξ_{k}$ 取得最大值．

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = a$ ， $D, E$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点， $M$ 为棱 $A A_{1}$ 上的点，二面角 $M - D E - A$ 为 $30 °$ ．
（I）证明： $A_{1} B_{1} ⊥ C_{1} D$ ；
（II）求 $M A$ 的长，并求点 $C$ 到平面 $M D E$ 的距离．

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已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \sin (ω x - \frac{π}{6}) - 2 \cos^{2} \frac{ω x}{2}, x \in R$ （其中 $ω > 0$ ）
（I）求函数 $f (x)$ 的值域；
（II）若对任意的 $a \in R$ ，函数 $y = f (x)$ ， $x \in (a, a + π]$ 的图象与直线 $y = - 1$ 有且仅有两个不同的交点，试确定 $ω$ 的值（不必证明），并求函数 $y = f (x), x \in R$ 的单调增区间．

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