平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限角平分线．在上有点列，，在上有点列，，．已知，，．

（1）求点的坐标；
（2）求的坐标；
（3）求面积的最大值，并说明理由．

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已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, b), \vec{n} = (\sin B, \sin A), \vec{p} = (b - 2, a - 2)$ .
（1）若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；
（2）若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，边长 $c = 2$ ，角 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

题型：未知
难度：未知

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已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
（1）若 $a_{n} = 3 n + 1$ ，是否存在 $m, k \in N^{+}$ ，有 $a_{m} + a_{m + 1} = a_{k}$ 说明理由；
（2）找出所有数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ，使对一切 $n \in N^{+}$ , $\frac{a_{n - 1}}{a_{n}} = b_{n}$ ,并说明理由；
（3）若 $a_{1} = 5, d = 4, b_{1} = q = 3$ 试确定所有的 $p$ ，使数列 ${a_{n}}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 ${b_{n}}$ 中的一项，请证明.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $y = f (x)$ 的反函数.定义：若对给定的实数 $a (a \neq 0)$ ，函数 $y = f (x + a)$ 与 $y = f^{- 1} (x + a)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 和性质"；若函数 $y = f (a x)$ 与 $y = f^{- 1} (a x)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 积性质".
（1）判断函数 $g (x) = x^{2} + 1 (x > 0)$ 是否满足"1和性质"，并说明理由；
（2）求所有满足"2和性质"的一次函数；
（3）设函数 $y = f (x) (x > 0)$ 对任何 $a > 0$ ，满足" $a$ 积性质".求 $y = f (x)$ 的表达式.

题型：未知
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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ,设过点 $A (- 3 \sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\overset{⇀}{e} = (1, k)$

（1）当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离；
（2）证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$ ，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$ .

题型：未知
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有时可用函数 $f (x) = {\begin{matrix} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, (x \leq 6) \\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, (x > 6) \end{matrix}$ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 $x$ 表示某学科知识的学习次数（ $x \in N^{+}$ ）， $f (x)$ 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 $a$ 与学科知识有关.
（1）证明：当 $x \geq 7$ 时，掌握程度的增加量 $f (x + 1) - f (x)$ 总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 $(115, 121]$ , $(121, 127]$ , $(121, 133]$ .当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

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