设等差数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设等差数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列前n项和为，且，令．求数列的前n项和.

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（II）已知不等式恒成立，求x的取值范围。

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已知函数 $f (x) = x^{3} - (k^{2} - k + 1) x^{2} + 5 x - 2$ ， $g (x) = k^{2} x^{2} + k x + 1$ ，其中 $k \in R$ ．
（I）设函数 $p (x) = f (x) + g (x)$ ．若 $p (x)$ 在区间 $(0, 3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围；
（II）设函数 $q (x) = \{\begin{cases} g (x), x \geq 0, \\ f (x), x < 0 . \end{cases}$ 是否存在 $k$ ，对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一的非零实数 $x_{2}$ $(x_{2} \neq x_{1})$ ，使得 $q ` (x_{2}) = q ` (x_{1})$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存
在，请说明理由．

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如图，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E, F, O$ 分别为 $P A$ ， $P B$ ， $A C$ 的中点， $A C = 16$ ， $P A = P C = 10$ ．
（I）设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明： $F G ∥$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $△ A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M ⊥$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A$ ， $O B$ 的距离．

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