（本小题满分12分）已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = C D = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ．
（1）求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）若侧棱 $P C$ 上的点 $F$ 满足 $P F = 7 F C$ ，求三棱锥 $P - B D F$ 的体积．

题型：未知
难度：未知

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在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + \sqrt{3} b c$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）设 $a = \sqrt{3}$ ， $S$ 为 $∆ A B C$ 的面积，求 $S + 3 \cos B \cos C$ 的最大值，并指出此时 $B$ 的最值．

题型：未知
难度：未知

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从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ （单位：千元）与月储蓄 $y_{i}$ （单位：千元）的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 20, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 184, \sum_{i = 1}^{10} {x_{i}}^{2} = 720$ .（1）求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y = b x + a$ ；
（2）判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程 $y = b x + a$ 中， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n x^{2}}, a = y - b x$ ，其中 $x, y$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

题型：未知
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设数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \in N_{+}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列, $T_{n}$ 为前 $n$ 项和,且 $b_{1} = b_{2}, b_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,求 $T_{20}$ ．

题型：未知
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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A, A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两 $P, P `$ ，过 $P, P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．求 $△ P P ` Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程．

题型：未知
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