某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设.(I)将(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t);(II)若,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
(本小题满分12分) 已知点和直线,作垂足为Q,且 (Ⅰ)求点P的轨迹方程; (Ⅱ)过点C的直线与点P轨迹交于两点,,点,若的面积为,求直线的方程.
(本小题满分12分) 设数列为等差数列,且,,数列的前项和为,且;, (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ)若,为数列的前项和. 求证:.
(本小题满分12分) 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体. (Ⅰ)从这些小正方体中任取1个,求其中至少有两面涂有颜色的概率; (Ⅱ)从中任取2个小正方体,记2个小正方体涂上颜色的面数之和为.求的分布列和数学期望.
(本小题满分12分) 如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为,是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(本小题满分10分) 已知向量,,函数 (Ⅰ)求的单调增区间; (Ⅱ)若时,的最大值为4,求的值.