在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点．已知

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点．已知为等腰三角形.

（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹
方程.

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x ）$ ，其中常数 $ω > 0$
（1）令 $ω = 1$ ，判断函数 $F (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{2})$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）令 $ω = 2$ ，将函数 $y = F (x)$ 的图象向左平移个 $\frac{π}{6}$ 单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，对任意 $a \in R$ ，求 $y = g (x)$ 在区间 $[a, a + 10 π]$ 上零点个数的所有可能值．

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甲厂以 $x$ 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每一小时可获得的利润是 $100 (5 x + 1 - \frac{3}{x})$ 元．
（1）求证：生产 $a$ 千克该产品所获得的利润为 $100 a (5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}})$ 元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

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如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

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设 $a \in [- 2, 0]$ , 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} - (a + 5) x, & x \leq 0, \\ x^{3} - \frac{a + 3}{2} x^{2} + a x, & x > 0 . \end{cases}$  
(Ⅰ) 证明 $f (x)$ 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线 $y = f (x)$ 在点 $P_{i} (x_{i}, f (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ 处的切线相互平行, 且 $x_{1} x_{2} x_{3} \neq 0$ ,证明 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - \frac{1}{3}$ .

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已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ , 且 $- 2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;
(Ⅱ) 证明 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6} (n \in N^{+})$ .

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