如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60 m，宽40 m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10 m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x m．（π的值取3）

（1）用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；
（2）当所有甬道的面积之和比矩形面积的多36 m²时，求x的值．

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学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类： $A$ ：好， $B$ ：中， $C$ ：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中 $A$ 类1人， $B$ 类2人， $C$ 类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是 $B$ 类学生的概率．

题型：未知
难度：未知

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请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}$ ， $y_{2})$ 满足下列条件：

① $| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

② $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α$ （角 $α$ 的取值范围是 $0 ° < α < 90 °)$ ；

③ $\vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}$ ， $3)$ ，求角 $α$ 的大小；

解： $∵ | \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = 2$ ，

$\vec{b} = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$∴ \vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α = 2 \times 2 \sqrt{3} \cos α = 4 \sqrt{3} \cos α$

又 $∵ \vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 1 \times (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 3 = 2 \sqrt{3}$

$∴ 4 \sqrt{3} \cos α = 2 \sqrt{3}$

$∴ \cos α = \frac{1}{2}$ ， $∴ α = 60 °$

$∴$ 角 $α$ 的值为 $60 °$ ．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，求角 $α$ 的大小．

题型：未知
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如图，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PA$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 是半圆 $CD$ 的中点，连接 $AM$ 交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求证： $C M^{2} = MN \cdot MA$ ；

（2）若 $∠ P = 30 °$ ， $PC = 2$ ，求 $CM$ 的长．

题型：未知
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如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于 $D$ ， $AD = 4$ ， $\sin ∠ AOD = \frac{4}{5}$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(n, - 2)$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2） $E$ 是 $y$ 轴上一点，且 $ΔAOE$ 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 $E$ 点坐标．

题型：未知
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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的两实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
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