已知抛物线的焦点为，过任作直线(与轴不平行)交抛物线分别于两

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知抛物线的焦点为，过任作直线(与轴不平行)交抛物线分别于两点，点关于轴对称点为，

（1）求证：直线与轴交点必为定点；
（2）过分别作抛物线的切线，两条切线交于，求的最小值，并求当取最小值时直线的方程.

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在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 $l$ 上两点 $M, N$ 的极坐标分别为（2,0）( $\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{π}{2}$ ),圆 $C$ 的参数方程 $\{\begin{cases} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = - \sqrt{3} + 2 \sin θ \end{cases} (θ 为参数)$

（1）设 $P$ 为线段 $M N$ 的中点，求直线 $O P$ 的平面直角坐标方程

（2）判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系

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（Ⅰ）求 $m$ 的值；
（Ⅱ）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ .

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设曲线 $2 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 1$ 在矩阵 $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}) (a > 0)$ 对应的变换作用下得到的曲线为 $x^{2} + y^{2} = 1$ .

（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值
（Ⅱ）求 $A^{2}$ 的逆矩阵

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已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e x, a \in R$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）试确定 $a$ 的取值范围，使得曲线 $y = f (x)$ 上存在唯一的点 $P$ ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$ .

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如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相较于点 $Q$ 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由

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