已知：抛物线C₁：y＝x²。如图（1），平移抛物线C₁得到抛物线C₂，C₂经过C₁的顶点O和A（2，0），C₂的对称轴分别交C₁、C₂于点B、D。

（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
（3）如图（2），将抛物线C₂向下平移m个单位（m＞0）得抛物线C₃，C₃的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？