在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.(1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；
(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.

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已知抛物线方程 $y^{2} = 4 x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $PF$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| PF |}{| FQ |}$ ．

（1）当 $P (- 1, - \frac{8}{3})$ 时，求 $d (P)$ ；

（2）证明：存在常数 $a$ ，使得 $2 d (P) = | PF | + a$ ；

（3） $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 为抛物线准线上三点，且 $| P_{1} P_{2} | = | P_{2} P_{3} |$ ，判断 $d (P_{1}) + d (P_{3})$ 与 $2 d (P_{2})$ 的关系．

题型：未知
难度：未知

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改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．

年份	卫生总费用（亿元）	个人现金卫生支出		社会卫生支出		政府卫生支出
年份	卫生总费用（亿元）	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重
2012	28119.00	9656.32	34.34	10030.70	35.67	8431.98	29.99
2013	31668.95	10729.34	33.88	11393.79	35.98	9545.81	30.14
2014	35312.40	11295.41	31.99	13437.75	38.05	10579.23	29.96
2015	40974.64	11992.65	29.27	16506.71	40.29	12475.28	30.45

（数据来源于国家统计年鉴）

（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：

（2）设 $t = 1$ 表示1978年，第 $n$ 年卫生总费用与年份 $t$ 之间拟合函数 $f (t) = \frac{357876.6053}{1 + e^{6.4420 - 0.1136 t}}$ 研究函数 $f (t)$ 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．

题型：未知
难度：未知

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已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{4} = 15$ ，求 $S_{n}$ ；

（2）若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $\lim_{x \to \infty} s_{n} < 12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，在正三棱锥 $P - ABC$ 中， $PA = PB = PC = 2$ ， $AB = BC = AC = \sqrt{3}$ ．

（1）若 $PB$ 的中点为 $M$ ， $BC$ 的中点为 $N$ ，求 $AC$ 与 $MN$ 的夹角；

（2）求 $P - ABC$ 的体积．

题型：未知
难度：未知

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在 $△ ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ ．

（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值．

题型：未知
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