已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程;(2)直线(为参数)与曲线C交于,两点,与轴交于,求的值.
等比数列 a n 的前n 项和为 s n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差数列
(1)求 a n 的公比 q ;
(2)求 a 1 - a 3 = 3 求 s n
(1)已知矩阵 M 2 - 3 1 - 1 所对应的线性变换把点 A x , y 变成点 A ' 13 , 5 ,试求M的逆矩阵及点A的坐标
(2)已知直线 l : 3 x + 4 y - 12 = 0 与 圆 C : x = - 1 + 2 cos θ y = 2 + 2 sin θ ( θ 为参数 ) 试判断他们的公共点个数
(3)解不等式 2 x - 1 < x + 1 .
已知函数 f ( x ) = 1 3 x 3 + a x 2 + bx ,且 f ' ( - 1 ) = 0
(1) 试用含 a 的代数式表示b,并求 f ( x ) 的单调区间;
(2)令 a = - 1 ,设函数 f ( x ) 在 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) 处取得极值,记点 M x 1 , f ( x 1 ) , N x 2 , f ( x 2 ) , P m , f ( m ) , x 1 < m < x 2 ,请仔细观察曲线 f ( x ) 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:
(Ⅰ)若对任意的 m ∈ x 1 , x 2 ,线段MP与曲线 f ( x ) 均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;
(Ⅱ)若存在点 Q n , f n , x ≤ n < m ,使得线段 PQ 与曲线 f ( x ) 有异于 P 、 Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程)
已知A,B 分别为曲线C: x 2 a 2 + y 2 = 1 y ≥ 0 , a > 0 与x轴的左、右两个交点,直线 l 过点B,且与 x 轴垂直,S为 l 上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧 AB ⏜ 的三等分点,试求出点S的坐标;
(2)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在 a ,使得O,M,S三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。
如图,某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM ,该曲线段为函数 y = A sin ω x A > 0 , ω > 0 , x ∈ 0 , 4 的图象,且图象的最高点为 S 3 , 2 3 ;赛道的后一部分为折线段 MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 ∠ MNP = 120 °
(Ⅰ)求A , ω 的值和M,P两点间的距离;
(Ⅱ)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?