已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程;(2)直线(为参数)与曲线C交于,两点,与轴交于,求的值.
(本小题满分14分)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当为偶数时,正项数列满足,求的通项公式;(3)当为奇数且时,求证:.
(本小题满分13分)已知椭圆过点,且点在轴上的射影恰为椭圆的一个焦点(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过作两条倾斜角互补的直线与椭圆分别交于两点.试问:四边形能否为平行四边形?若能,求出直线的方程;否则说明理由.
(本小题满分13分) 已知几何体的三视图及直观图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(Ⅰ)求此几何体的体积的大小;(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;(Ⅲ)试探究在上是否存在点,使得,并说明理由.
(本小题满分13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
已知函数,(Ⅰ)若在[-1,1]上存在零点,求实数的取值范围;(Ⅱ)当时,若对任意的∈[1,4],总存在∈[1,4],使成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)若函数(其中)的值域为区间D,是否存在常数,使区间D的长度为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。(规定:区间的长度为).