已知四边形ABCD是平行四边形(如图),把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.(1)利用尺规作出△AˊBD.(要求保留作图痕迹,不写作法);(2)设D Aˊ与BC交于点E,求证:△BAˊE≌△DCE.
先化简,再求值: ( x + 1 ) 2 + ( 2 + x ) ( 2 - x ) ,其中 x = 1 .
如图,在 Rt Δ ABC 中,点 P 为斜边 BC 上一动点,将 ΔABP 沿直线 AP 折叠,使得点 B 的对应点为 B ' ,连接 AB ' , CB ' , BB ' , PB ' .
(1)如图①,若 PB ' ⊥ AC ,证明: PB ' = AB ' .
(2)如图②,若 AB = AC , BP = 3 PC ,求 cos ∠ B ' AC 的值.
(3)如图③,若 ∠ ACB = 30 ° ,是否存在点 P ,使得 AB = CB ' .若存在,求此时 PC BC 的值;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 C : y = a x 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 经过点 ( 1 , 1 ) 和 ( 4 , 1 ) .
(1)求抛物线 C 的对称轴.
(2)当 a = - 1 时,将抛物线 C 向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到抛物线 C 1 .
①求抛物线 C 1 的解析式.
②设抛物线 C 1 与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 的右侧),与 y 轴交于点 C ,连接 BC .点 D 为第一象限内抛物线 C 1 上一动点,过点 D 作 DE ⊥ OA 于点 E .设点 D 的横坐标为 m .是否存在点 D ,使得以点 O , D , E 为顶点的三角形与 ΔBOC 相似,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.
某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径 ED 与母线 AD 长之比为 1 : 2 .制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料,其中 AB = AC , AD ⊥ BC .将扇形 AEF 围成圆锥时, AE , AF 恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角 ∠ BAC 的大小.
(2)若圆锥底面圆的直径 ED 为 5 cm ,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留 π )
为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召,某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间(单位: h ) 进行了随机抽样调查,并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图,请根据图表中的信息回答下列问题.
周学习时间
频数
频率
0 ⩽ t < 1
5
0.05
1 ⩽ t < 2
20
0.20
2 ⩽ t < 3
a
0.35
3 ⩽ t < 4
25
m
4 ⩽ t ⩽ 5
15
0.15
(1)求统计表中 a , m 的值.
(2)甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内.
(3)已知该校学生约有2000人,试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于 3 h 的人数.