椭圆C:x2a2y2b21a<b<0的左、右焦点分别是F1,

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左 $、$ 右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点,连接 $P F_{1}, P F_{2}$ ,设 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P M$ 交 $C$ 的长轴于点 $M (m, 0)$ ,求 $m$ 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ,使 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点,设直线的 $P F_{1}, P F_{2}$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .若 $k \neq 0$ ,试证明 $\frac{1}{k k_{1}} + \frac{1}{k k_{2}}$ 为定值,并求出这个定值.

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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin B (\tan A + \tan C) = \tan A \tan C$ .
(Ⅰ)求证： $a, b, c$ 成等比数列；
(Ⅱ)若 $a = 1, c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$ .
(Ⅰ)当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) ⩾ 3$ 的解集；
(Ⅱ) 若 $f (x) ⩽ |x - 4|$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

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已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{matrix}$ （ $φ$ 是参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ :的极坐标方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ .
(Ⅰ)求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

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如图， $D, E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外接圆与 $F, G$ 两点，若 $C F / / A B$ ，证明：

(Ⅰ) $C D = B C$ ;
(Ⅱ) $△ B C D \approx △ G B D$ .

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设抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l, A$ 为 $C$ 上一点，已知以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B$ , $D$ 两点.
(Ⅰ)若 $∠ B F D = 90^{°}$ , $∆ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
(Ⅱ)若 $A, B, F$ 三点在同一条直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.

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