已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的焦距为4，且过点 $P\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$.
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；
（Ⅱ）设 $Q\left(x_0,y_0\right)\left(x_0{y}_0\ne 0\right)$为椭圆 $C$上一点，过点 $Q$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A\left(0,2\sqrt{2}\right)$,连接 $AE$，过点 $A$作 $AE$的垂线交 $x$轴于点 $D$。点 $G$是点 $D$关于 $y$轴的对称点，作直线 $QG$，问这样作出的直线 $QG$是否与椭圆 $C$一定有唯一的公共点？并说明理由.