在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱。(1)摸出的3个球为白球的概率是多少? (2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
已知函数 f(x)=ax- ( ln x ) 2
(1) a=1 时,求 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程;
(2) f(x) 有 3 个零点, x 1 , x 2 , x 3 且 x 1 < x 2 < x 3 .
(i)求 a 的取值范围;
(ii)证明 ln x 2 - ln x 1 ⋅ln x 3 < 4e e - 1 .
已知数列 a n 是等差数列, b n 是等比数列, a 1 = b 1 =2, a 2 = b 2 +1, a 3 = b 3 .
(1)求 a n , b n 的通项公式;
(2) ∀n∈ N * , I∈ 0 , 1 ,有 T n = p 1 a 1 b 1 + p 2 a 2 b 2 + . . . + p n - 1 a n - 1 b n - 1 + p n a n b n | p 1 , p 2 , . . . , p n - 1 , p n ∈ I ,
(i)求证:对任意实数 t∈ T n ,均有 t< a n + 1 b n + 1 ;
(ii)求 T n 所有元素之和.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 a > b > 0 的左焦点为 F ,右顶点为 A , P 为 x=a 上一点,且直线 PF 的斜率为 1 3 , △PFA 的面积为 3 2 ,离心率为 1 2 .
(1)求椭圆的方程;
(2)过点 P 的直线与椭圆有唯一交点 B (异于点 A ),求证: PF 平分 ∠AFB .
正方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 4 , E、F 分别为 A 1 D 1 , C 1 B 1 中点, CG=3G C 1 .
(1)求证: GF⊥ 平面 FBE ;
(2)求平面 FBE 与平面 EBG 夹角的余弦值;
(3)求三棱锥 D-FBE 的体积.
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 asinB= 3 bcosA , c-2b=1 , a= 7 .
(1)求 A 的值;
(2)求 c 的值;
(3)求 sin(A+2B) 的值.