已知圆锥曲线C：，点分别为圆锥曲线C的左、右焦点，点B为圆锥

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知圆锥曲线C：，点分别为圆锥曲线C的左、右焦点，点B为圆锥曲线C的上顶点，求经过点且垂直于直线的直线的方程.

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $2 \cos^{2} \frac{A - B}{2} \cos B - \sin (A - B) \sin B + \cos (A + C) = - \frac{3}{5}$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
（2）若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．

题型：未知
难度：未知

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在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 8$ ，且 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 和 $a_{9}$ 的等比中项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的首项，公差及前 $n$ 项和．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + a, x < 0 \\ \ln (x), x > 0 \end{cases}$ ，其中 $a$ 是实数．设 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1 <} x_{2}$ ．
（Ⅰ）指出函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$ ，证明： $x_{2} - x_{1} \geq 1$ ；
（Ⅲ）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．

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已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设 $Q (m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{{|O Q|}^{2}} = \frac{1}{{|O M^{}|}^{2}} + \frac{1}{{|O N|}^{2}}$ ．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

题型：未知
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如图，在三棱柱 $A B C ﹣ A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥ 底面 A B C$ ， $A B = A C = 2 A A_{1} = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A D$ 上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面 $A B C$ 内，试作出过点P与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$ ，说明理由，并证明直线 $l ⊥ 平面 A D D_{1} A$ ₁；
（Ⅱ）设(Ⅰ）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$ ，求三棱锥 $A_{1} - Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式： $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中S为底面面积，h为高）

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